Question

Пользуясь определением, выведите формулу дифференцирования функции y=корень из 1+х2

Answer 1

$y=sqrt{1+x^2}$

$y'= lim_{Delta x to 0} frac{y(x+Delta x)-y(x)}{Delta x} = lim_{Delta x to 0} frac{sqrt{1+(x+Delta x)^2} -sqrt{1+x^2}}{Delta x} =$

Из левого слоагаемого в числителе выделим множитель $sqrt{1+x^2}$

$= lim_{Delta x to 0} frac{sqrt{1+x^2}sqrt{1+frac{2xDelta x + (Delta x)^2}{1+x^2}} -sqrt{1+x^2}}{Delta x} =$

Т.к. Δx→0, то слагаемым (Δx)² можно принебречь:

$lim_{Delta x to 0} frac{sqrt{1+x^2}sqrt{1+frac{2xDelta x}{1+x^2}} -sqrt{1+x^2}}{Delta x}$

Разложим корень в ряд Тейлора до первого члена по Δx:

$lim_{Delta x to 0} frac{sqrt{1+x^2}(1+frac{1}{2}frac{2xDelta x}{1+x^2})-sqrt{1+x^2}}{Delta x} = lim_{Delta x to 0} frac{sqrt{1+x^2}(xDelta x)}{(1+x^2)Delta x} = frac{x}{sqrt{1+x^2} }$