Question

1) Прямая y=2x+13 является касательной к графику функции $y=x^{3}-3x^{2} -22x-15$ . Найдите абсциссу точки касания.

2) Найдите точку минимума функции $y=log_{6}(x^{2}-7x+16)+7$

Answer 1

1) Уравнение касательной имеет вид    $y=f(x_0)+f`(x_0)(x-x_0)$

С этого уравнения видно, что коэффициент возле переменной является значением производной функции в точке касания. Найдём же эту точку.

$y=x^3-3x^2-22x-15\y`=3x^2-6x-22\3x^2-6x-22 = 2\3x^2-6x-24=0 ->3(x^2-2x-8)=0\x^2-2x-8=0\D=4-4*(-8) = 4+32=36 sqrt{D} =6\x_{1,2}=frac{2pm 6}{2} x_1=4 x_2=-2$

Проведём проверку найденных корней:

$y=f(4) + f`(4)(x-4)\y=64-3*16-22*4-15 + (3*16-6*4-22)(x-4)\y=-87+2(x-4) = 2x-95$

Первый корень дал нам уравнение другой касательной,он нам не подходит

$y=f(-2)+f`(-2)(x+2)\y=-8-3*4+44-15 + (3*4+6*2-22)(x+2)\y=9+2(x+2) = 2x+13$

Мы нашли абсциссу точки прикосновения, это -2

Ответ: х= -2

2) Нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы проверить критические точки на наличие экстремума

$y=log_6(x^2-7x+16) +7\ (log_6(x^2-7x+16) +7))` = frac{2x-7}{(x^2-7x+16)*ln6} \2x-7=0 | x^2-7x+16neq 0\x=3.5 | D=49-4*16 = 49-64=-15 \->x^2-7x+16 xneq 0 xin R$

Мы нашли стационарную точку х = 3.5 , проверим её на экстремум с помощью метода интервалов.

Подставляю в нашу производную значения с интервалов (подставляем только в числитель, так как знаменатель всегда положителен и мы это доказали выше)

Получаем такие знаки на интервалах:

Видим, что производная при переходе через точку х = 3.5 меняет свой знак с минуса на плюс, что является достаточным условием существования минимума функции в данной точке.

Ответ: х = 3.5 - точка минимума функции