Question

НАЙТИ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ПОДРОБНО!

Answer 1

Предварительно вспомним некоторые результаты:

$boxed{limlimits_{xto 0}frac{sin x}{x}=1 }$ - это первый замечательный предел. Из него следует и еще один: $boxed{limlimits_{xto 0}frac{arcsin x}{x}=1 }$. Это легко увидеть, если сделать замену $x:=sin u$, тогда при $xto 0$ $uto 0$ (в силу области определения арксинуса). Побочно нам потребуется формула из тригонометрии: $boxed{cosalpha-cosbeta=-2sinfrac{alpha+beta}{2}sinfrac{alpha-beta}{2}}$;

Выражение под пределом можно переписать: $frac{arcsin^{2}3x}{cos3x-cos x}=frac{arcsin 3xtimes arcsin 3x}{-2sin 2xtimessin x}$; Теперь домножим на $frac{2x times x times 3xtimes 3x}{2xtimes xtimes 3xtimes 3x}$ - это единица, поэтому ничего не изменится. Получим: $frac{arcsin 3xtimes arcsin 3x times 2xtimes x}{-2sin 2xtimessin xtimes 3xtimes 3x}timesfrac{3xtimes 3x}{2xtimes x}$; При $xto 0$ можно воспользоваться обозначенными выше результатами. Тогда получим $frac{1}{-2}times frac{3xtimes 3x}{2xtimes x}=-frac{9}{4}$;

Ответ: $-9/4$