Question

Исследовать на сходимость ряд

Answer 1

$dfrac{n+3}{n^2+5}>0=>arctgdfrac{n+3}{n^2+5}>0=>arctgdfrac{n+3}{n^2+5}<dfrac{n+3}{n^2+5}\ sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{sqrt[3]{n}+2}arctgdfrac{n+3}{n^2+5}<sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{sqrt[3]{n}+2}dfrac{n+3}{n^2+5}<sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{sqrt[3]{n}+2}dfrac{4n}{n^2+5}<\ <sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{sqrt[3]{n}}dfrac{4n}{n^2}=sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{sqrt[3]{n}}dfrac{4}{n}=4sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^frac{4}{3}}$

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^frac{4}{3}}$ сходится как частный случай обобщенного гармонического ряда для $k=dfrac{4}{3}>1$.

Тогда исходный ряд сходится по признаку сравнения