Question

Помогите!!! Решите неравенство sin x < cos x .
правильный ответ:
2πl + 5π/4 < x < 9π/4 + 2πl , l ∈ Z
как его получили объясните пожалуйста понятно

Answer 1

Поступим следующим образом: косинус перенесем влево с противоположным знаком и обе части разделим на $sqrt{2}$(это же самое, что умножить на дробь $frac{1}{sqrt2}$) Имеем:

$sin x-cos x<0\\frac{1}{sqrt2}cdot sin x-frac{1}{sqrt2}cos x <0$

Заметим, что

$frac{1}{sqrt2}=cosfrac{pi}{4}=sin frac{pi}{4}$

Если переписать неравенство в следующем виде -

$cosfrac{pi}{4}sin x-sin frac{pi}{4}cos x<0$,

то легко можно заметить в левой части формулу синуса разности аргументов. Окончательно имеем:

$sin(x-frac{pi}{4})<0$

Сделаем замену: $x-frac{pi}{4}=t$. Таким образом мы свели исходное неравенство к наипростейшему вида $sin t <0$. Решим его при помощи числовой окружности (вложение). Окончательно имеем:  $pi+2pi n<t<2pi+2pi n, nin mathbb Z$. Возвращаемся к обратной замене: $pi+2pi n<x-frac{pi}{4} <2pi+2pi n, nin mathbb Z$.

Ко всем 3-ем частям неравенства прибавляем $frac{pi }{4}$ и получаем окончательный ответ:   $frac{5pi}{4} +2pi n<x <frac{9pi}{4} +2pi n, nin mathbb Z$

ОТВЕТ: $frac{5pi}{4} +2pi n<x <frac{9pi}{4} +2pi n, nin mathbb Z$.