Question

1. Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=2+sin4x, если F(п/4)= -3п. В ответе укажите значение F(7п/4)

2. Наибольшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=e^x+2x+1 на отрезке [0;2] равно e^2. Найдите наименьшее значение первообразной на этом отрезке

3. График первообразной F(x) для функции f(x)= -6/x^2 на промежутке (-∞;0)проходит через точку (-2;-3). Решите уравнение F(x)=f(x). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший корень

Answer 1

$1. f(x)=2+sin 4x\\F(x)=2x-frac{cos4x}{4}+C.\\F(frac{pi}{4})=-3pi;\\ 2cdotfrac{pi}{4}-frac{cospi}{4}+c=-3pi;\\frac{pi}{2}+frac{1}{4}+c=-3pi \\ C=-3pi-frac{pi}{2}-frac{1}{4}\\C=-frac{7pi}{2}-frac{1}{4}$

Заданная первообразная - $F(x)=2x-frac{cos4x}{4}-frac{7pi}{2}-frac{1}{4}$

$F(frac{7pi}{4})=2cdotfrac{7pi}{4}-frac{cos7pi}{4}-frac{7pi}{2}-frac{1}{4}=frac{7pi}{2}+frac{1}{4}-frac{7pi}{2}-frac{1}{4}=0.$

ОТВЕТ: 0.

$2. f(x)=e^x+2x+1, max_{[0;2]}F(x)=e^2.\\F(x)=e^x+x^2+x+C.$

График данной первообразная вне зависимости от значения константы на заданном отрезке монотонно возрастает. Поэтому максимальное значение первообразная принимает на правом конце отрезка [0; 2] - т.е. при х = 2.

$F(2)=e^2+2^2+2+C=e^2+6+C=e^2;\\e^2+6+C=e^2\\6+C=0Rightarrow C=-6.$

Заданная первообразная - $F(x)=e^x+x^2+x-6.$

Соответственно все из того же факта монотонного возрастания следует и то, что минимальное значение первообразная принимает на левом конце отрезка [0; 2] - т.е. при х = 0.

$F(0)=e^0+0^2+0-6=1-6=-5.$

ОТВЕТ: -5.

$3. f(x)=-frac{6}{x^2}=-6x^{-2}, xin(-infty; 0) \\F(x)=-6cdotfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=-6cdotfrac{x^{-1}}{-1}+C=frac{6}{x}+C.$

По условию $F(-2)=-3;$

$frac{6}{-2}+C=-3;\\ -3+C=-3Rightarrow C=0.$

Заданная первообразная - $F(x)=frac{6}{x}.$

Решим уравнение $F(x)=f(x):$

$frac{6}{x}=-frac{6}{x^2}, xneq 0 \\ 6cdot x^2=xcdot-6;\\6x^2+6x=0;\\6x(x+1)=0Rightarrow x_1=0, x_2=-1.$

Однако вспоминаем про ограничение для самой переменной: $xneq 0$ (о чем прописано также и в условии существования первообразной). Делаем вывод: уравнение имеет единственное решение $x=-1$

ОТВЕТ: {-1}.