Question

Числа а1 а2 а3... аn an+1 образуют арифметическую прогрессию доказать что
1/a1*a2+1/a2*a3+...+1/an*an+1 = n/a1 * an+1

Answer 1

$a_n=a_1+(n-1)d\ dfrac{1}{a_1a_2}+...+dfrac{1}{a_na_{n+1}}=dfrac{1}{(a_1+0*d)(a_1+1*d)}+...+dfrac{1}{(a_1+(n-1)*d)(a_1+n*d)}=dfrac{1}{d}(dfrac{1}{(a_1+0*d)}-dfrac{1}{(a_1+1*d)})+...+dfrac{1}{d}(dfrac{1}{(a_1+(n-1)*d)}-dfrac{1}{(a_1+n*d)})=dfrac{1}{d}(dfrac{1}{(a_1+0*d)}-dfrac{1}{(a_1+n*d)})=dfrac{nd}{d(a_1+0*d)(a_1+n*d)}=dfrac{n}{a_1*a_{n+1}}$