Question

Вывести формулу модуля всестороннего сжатия.

Answer 1

Рассмотрим сжатие куба.

Деформации его граней:

$varepsilon_x = frac{Delta x}{x}$; $varepsilon_y= frac{Delta y}{y}$; $varepsilon_z = frac{Delta z}{z}$.

Каждая деформация складывается из относительного удлинения вдоль выбранной оси, равная $-frac{p}{E}$ (p - давление, оказываемое на грань, E- модуль Юнга, "-" потому что сжатие) и деформаций, связанных с деформациями поперечных компонент, каждая из которых равна $-mu(- frac{p}{E})$, где μ - коэффициент Пуассона.

Тогда:

$varepsilon_x =-frac{p}{E} + mu frac{p}{E}+mu frac{p}{E} = -frac{p}{E} (1-2mu)$

$varepsilon_y = -frac{p}{E} (1-2mu)$

$varepsilon_z = -frac{p}{E} (1-2mu)$

Суммарная деформация, выражается через модуль всестороннего сжатия K:

$frac{Delta V}{V} = -frac{p}{K}$,

С другой стороны:

$frac{Delta V}{V} = frac{Delta x}{x} +frac{Delta y}{y} +frac{Delta z}{z} = varepsilon_x +varepsilon_y + varepsilon_z = -3frac{p}{E}(1-2mu)$.

Отсюда:

$K=frac{E}{3(1-2mu)}$