Question

Даны три некомпланарных вектора: а( 3 ; 3; 4 ), б(-2 ; 0 ; 2 ), с ( 5 ; -3;2 ). Разложите вектор д ( 3; 6 ;4 ) по данным векторам

Answer 1

Запишем искомое разложение вектора d:

$vec{d}=xvec{a}+yvec{b}+zvec{c}$

$xvec{a}={3x; 3x; 4x}\yvec{b}={-2y; 0; 2y}\zvec{c}={5z; -3z; 2z}$

$vec{d}={3; 6; 4}$

Составим систему, пользуясь тем, что координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов:

$begin{cases} 3x-2y+5z=3 \ 3x-3z=6 \ 4x+2y+2z=4end{cases}$

$begin{cases} 3x-2y+5z=3 \ x-z=2 \ 2x+y+z=2end{cases}$

Из второго уравнения выразим х:

$x=z+2$

Подставляем в оставшиеся уравнения:

$begin{cases} 3(z+2)-2y+5z=3 \ 2(z+2)+y+z=2end{cases}$

$begin{cases} 3z+6-2y+5z=3 \ 2z+4+y+z=2end{cases}$

$begin{cases} 8z-2y=-3 \ 3z+y=-2end{cases}$

Из второго уравнения выражаем у:

$y=-2-3z$

Подставляем в первое, находим z:

$8z-2(-2-3z)=-3\8z+4+6z=-3\14z=-7\Rightarrow z=-dfrac{1}{2}$

Находим у:

$y=-2-3z\y=-2-3cdotleft(-dfrac{1}{2}right)\Rightarrow y=-dfrac{1}{2}$

Находим х:

$x=z+2\x=-dfrac{1}{2}+2\Rightarrow x=dfrac{3}{2}$

Разложение вектора d:

$boxed{vec{d}=dfrac{3}{2} vec{a}-dfrac{1}{2}vec{b}-dfrac{1}{2}vec{c}}$