Question

Доказать что для произвольных чисел a b c d оправдается равенство 1/а + 1/b + 1/c + 1/c >= 64/(a+b+c+d)

Answer 1

Для начала докажем то, что называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца:

Рассмотрим два набора чисел: ${a_{i}}=a_{1},a_{2},...,a_{n}$ и ${b_{i}}=b_{1},b_{2},...,b_{n}$.

Тогда выполнено неравенство: $(sumlimits_{i=1}^{n}a_{i}^{2})(sumlimits_{i=1}^{n}b_{i}^{2})geq (sumlimits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2}$;

Это неравенство можно доказывать по-разному. Заметим, что скалярное произведение векторов $textbf{a}$ и $textbf{b}$ есть $textbf{a}timestextbf{b}=(sumlimits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})$, где $a_{i},b_{i}$ - координаты составляющих вектора. Поскольку скалярное произведение векторов всегда не превосходит произведения модулей векторов (так как $textbf{a}timestextbf{b}=|a|times|b|timescosphi,; |cosphi|leq 1$), то отсюда немедленно следует неравенство (ведь сумма квадратов в рассматриваемом неравенстве - это квадрат модуля вектора).

__________________________

Сделаем замену: $a_{i}=frac{x_{i}}{sqrt{y_{i}}},; b_{i}=sqrt{y_{i}}$; Получим неравенство: $(sumlimits_{i=1}^{n}frac{x_{i}^{2}}{y_{i}} )geq frac{(sumlimits_{i=1}^{n}x_{i})^2}{sumlimits_{i=1}^{n}y_{i}}$

Полагая $n=4$ и $forall; i:x_{i}=1$, получим: $frac{1}{y_{1}}+frac{1}{y_{2}}+frac{1}{y_{3}}+frac{1}{y_{4}}geq frac{16}{y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}$