Question

Дана функция распределения f(x). Найти дисперсию D(x)

Answer 1

Здесь случайная величина $X$ - непрерывна.

Найдем плотность распределения $p(x)$, как производную от функции распределения $F(x)$:

$p(x)=F'(x)=displaystyle left { {{0,~~ xleq 0,~~~ x>2} atop {dfrac{x}{2},~~~~~~~ 0<xleq 2}} right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X:$

$MX=displaystyle intlimits^a_b {xcdot p(x)} , dx =intlimits^2_0dfrac{x^2}{2}dx=dfrac{x^3}{6}bigg|^2_0=dfrac{2^3}{6}=dfrac{4}{3}$

Найдем теперь дисперсию

$DX=displaystyle MX^2-(MX)^2=intlimits^a_b x^2p(x)dx-(MX)^2=intlimits^2_0dfrac{x^3}{2}dx-left(dfrac{4}{3}right)^2=\ \ =dfrac{x^4}{8}bigg|^2_0-dfrac{16}{9}=dfrac{2^4}{8}-dfrac{16}{9}=2-dfrac{16}{9}=dfrac{2}{9}$

Ответ: 2/9.