Question

Хэлп! Даю 40 баллов! Меня интересует очень подробное решение двух уравнений, чтобы понять. Как можно подробнее, с пояснениями, какую формулу используете и как понять какую именно надо. Ну, тоесть все детали должны быть написаны. Заранее спасибо)
P.s. ответ не в тему=нарушение

Answer 1

Воспользуемся методом вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида $acos x pm bsin x = c$, где $a, b, c$ — коэффициенты, $a neq 0, b neq 0.$

Разделим обе части этого уравнения на $sqrt{a^{2} + b^{2}} = r$

Получим:

$dfrac{a}{r} cos x pm dfrac{b}{r}sin x = dfrac{c}{r}$

Коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно:  модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.

Тогда можно обозначить их соответственно $sin varphi = dfrac{a}{r}$ и $cos varphi = dfrac{b}{r}$  (здесь $varphi$ — вспомогательный угол)  и уравнение примет вид:

$sin varphi cos x pm cos varphi sin x = dfrac{c}{r}$

Из формулы $sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta = sin (alpha pm beta )$ имеем:

$sin (varphi pm x) = dfrac{c}{r}$

Решим уравнения:

$1) dfrac{sqrt{3}}{2}cos x - dfrac{1}{2} sin x = 1$

$cos dfrac{pi}{6} cos x - sin dfrac{pi}{6}sin x = 1$

Воспользуемся формулой косинуса суммы / разности:

$cos alpha cos beta pm sin alpha sin beta = cos (alpha mp beta )$

Имеем:

$cos left(dfrac{pi}{6} + x right) = 1$

$dfrac{pi}{6} + x = 2pi n, n in Z$

$x = -dfrac{pi}{6} + 2pi n, n in Z$

Ответ: $x = -dfrac{pi}{6} + 2pi n, n in Z$

$2) sqrt{3}cos x + sin x = 1 | : sqrt{(sqrt{3})^{2} + 1^{2}}$

$dfrac{sqrt{3}}{2}cos x + dfrac{1}{2} sin x = dfrac{1}{2}$

$sin dfrac{pi}{3}cos x + cos dfrac{pi}{3}sin x = dfrac{1}{2}$

Воспользуемся формулой синуса суммы / разности:

$sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta = sin (alpha pm beta )$

Имеем:

$sin left(dfrac{pi}{3} + x right) = dfrac{1}{2}$

$dfrac{pi}{3} + x = (-1)^{n}arcsin dfrac{1}{2} + pi n, n in Z$

$dfrac{pi}{3} + x = (-1)^{n}dfrac{pi}{6} + pi n, n in Z$

$x = -dfrac{pi}{3} + (-1)^{n}dfrac{pi}{6} + pi n, n in Z$

Ответ: $x = -dfrac{pi}{3} + (-1)^{n}dfrac{pi}{6} + pi n, n in Z$

Примечание. Выбор формулы сложения для синуса или косинуса не является принципиальным. Здесь для удобства выбраны формулы именно такие, чтобы под тригонометрической функцией стоял аргумент со знаком плюс. Можно непосредственно пользоваться формулой для решения такого рода уравнений.

Второй метод: универсальная тригонометрическая подстановка.

Для уравнений вида $acos x pm bsin x = c$, где $a, b, c$ — коэффициенты, $a neq 0, b neq 0,$ воспользуемся выражениями тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

$sin alpha = dfrac{2text{tg} dfrac{alpha }{2} }{1 + text{tg}^{2} dfrac{alpha }{2} }$

$cos alpha = dfrac{1 - text{tg}^{2} dfrac{alpha }{2} }{1 + text{tg}^{2} dfrac{alpha }{2} }$

Перепишем уравнение:

$a cdot dfrac{1 - text{tg}^{2} dfrac{x}{2} }{1 + text{tg}^{2} dfrac{x}{2} } pm bcdot dfrac{2text{tg} dfrac{x }{2} }{1 + text{tg}^{2} dfrac{x}{2} } = c$

Сделаем соответствующую замену: $text{tg} dfrac{x}{2} = t$

Получили уравнение:

$a cdot dfrac{1 - t^{2} }{1 + t^{2} } pm b cdot dfrac{2t}{1 + t^{2} } = c$

После решения данного уравнения (обычно, их 2) следует вернутся к замене и получить решения:

$x = 2 , text{arctg} , t + 2pi n, n in Z$

Для заданных уравнений более рациональным является первый метод решения, потому что их не сложно свести к уравнению $sin (varphi pm x) = dfrac{c}{r}$, а процедура выискивания корней дробно-рационального уравнения для второго метода — это еще один относительно большой шаг для решения такого рода уравнений.

Answer 2

Если в первом примере я использую формулу с сложения для синуса, то имею:
sin(π/3)cos(x) - cos(π/3)sin(x) = 1
sin(π/3 - x) = 1
π/3 - x = π/2 + 2πn, n∈Z
-x = π/2 - π/3 + 2πn, n∈Z
x = -π/6 + 2πn, n∈Z
x = π/6 + 2πn, n∈Z
(Здесь можно оставлять -2πn = 2πт, так как n — целое число).

Answer 3

Как видите, из-за минуса перед иксом получилось больше действий, поэтому я для удобства использовал именно такие формулы, чтобы перед аргументом получался плюс.

Answer 4

Спасибо огромное, всё поняла

Answer 5

Пожалуйста!