Question

Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку А( 1; 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади

Answer 1

Уравнение прямой, отсекающей от первого координатного угла треугольник, имеет вид  y=kx+b . Этот треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения катетов.

Так как точка А(1;2)  принадлежит этой прямой,то подставив координаты точки А(1;2) в это уравнение получим

$2=kcdot 1+b; ; Rightarrow ; ; b=2-k$

Уравнение прямой теперь будет выглядеть так:   $y=kx+2-k$  .

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат:

$OX:; ; y=0; ; to ; ; kx+2-k=0; ; ,; ; x=frac{k-2}{k}\\OY:; ; x=0; ; Rightarrow ; ; y=2-k$

Длины отрезков, отсекаемых прямой  y=kx+2-k  на координатных осях, равны (2-k) на оси ОУ и  (k-2)/k  на оси ОХ. Эти отрезки и есть катеты прямоугольного треугольника. Вычислим его площадь:

$S=frac{1}{2}cdot (2-k)cdot frac{k-2}{k}=-frac{(k-2)^2}{2k}$

Найдём минимум это функции S(k).

$S'=frac{-2(k-2)cdot 2k+2cdot (k-2)^2}{4k^2}=frac{-4k^2+8k+2k^2-8k+8}{4k^2}=frac{-2k^2+8}{4k^2}=frac{-2, (k^2-4)}{4x^2}=\\=frac{-(k-2)(k+2)}{2k^2}=0; ; Rightarrow qquad k_1=2; ,; k_2=-2\\znaki; S'; :; ; ; ---(-2)+++(0)+++(2)---\\.qquad qquad quad ; ; searrow ; ; ; ; (-2); ; nearrow quad ; (0); ; nearrow ; ; ; (2); ; ; searrow$

Точка минимума:  $boxed {; k=-2; }$ , так как при переходе через k= -2 производная меняет знак с минуса на плюс.

При  k= -2 уравнение искомой прямой будет

$y=kx+2-k; ; ,; ; y=-2x+2-(-2); ; ,; ; boxed {; y=-2x+4; }$

Ответ:  k= -2 .