Question

СРОЧНО Решите логарифмические неравенства

$log_{9x}3x + log_{3x^{2} }9x^{2} leq frac{5}{2}$

Answer 1

Переходим к новому основанию (к основанию 3)

$dfrac{log_3(3x)}{log_3(9x)}+dfrac{log_3(9x^2)}{log_3(3x^2)}leq dfrac{5}{2}\ \ dfrac{1+log_3x}{2+log_3x}+dfrac{2log_3|3x|}{1+2log_3|x|}leq dfrac{5}{2}$

Учтём для начала ОДЗ

$x>0\ 3x^2ne 1~~~Rightarrow~~~ x=pmdfrac{1}{sqrt{3}}\ 9xne 1~~~Rightarrow~~~ xnedfrac{1}{9}$

На области допустимых значений мы можем убрать модуля в подлогарифмечких выражений.

$dfrac{1+log_3x}{2+log_3x}+dfrac{2+2log_3x}{1+2log_3x}leq dfrac{5}{2}\ \ Big(1+log_3xBig)Bigg(dfrac{1}{2+log_3x}+dfrac{2}{1+2log_3x}Bigg)leq dfrac{5}{2}\ \ Big(1+log_3xBig)cdotdfrac{1+2log_3x+4+2log_3x}{(2+log_3x)(1+2log_3x)}leq dfrac{5}{2}\ \ dfrac{-2log_3^2x-7log_3x}{(2+log_3x)(1+2log_3x)}leq 0\ \ dfrac{log_3x(2log_3x+7)}{(2+log_3x)(1+2log_3x)}leq 0$

Решаем уравнениe

$dfrac{log_3 x(2log_3x+7)}{(2+log_3x)(1+2log_3x)}=0\ \ x_1=1\ \ x_2=dfrac{sqrt{3}}{81}$

(0)__-___[√3/81]__+__(1/9)__-__(1/√3)___+__[1]___-__

$x in Big(0;dfrac{sqrt{3}}{81}Big]cup Big(dfrac{1}{9};dfrac{1}{sqrt{3}}Big)cup Big[1;+inftybig)$