Question

Решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Заметим, что это линейное однородное диф. уравнение.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u

$x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2e^{-1/u}\ \ x=0;~~ u'x=u^2e^{-1/u}$

Пришли к диф. уравнению с разделяющимися переменными

$displaystyle intdfrac{du}{u^2e^{-1/u}}=intdfrac{dx}{x}\ \ intdfrac{d(-1/u)}{e^{-1/u}}=int dfrac{dx}{x}\ \ -e^{-1/u}=ln |x|+C\ \ C=-e^{x/y}-ln |x|$

Найдем общий интеграл, подставив начальные условия

$C=-e^{-1}$

$boxed{e^{-1}=e^{x/y}+ln |x|}$ - частный интеграл