Question

Решить данные диф ур и написать какой вид
x*y*y'=(y^2)+x*((x^2)-9*(y^2))​

Answer 1

Тип: линейное однородное дифференциальное уравнение I порядка

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$.

$ux^2(u'x+u)=u^2x^2+x^2sqrt{1-9u^2}\ \ x=0;~~~ uu'x=sqrt{1-9u^2}$

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$displaystyle dfrac{udu}{sqrt{1-9u^2}}=dfrac{dx}{x}~~~Rightarrow~~~ -dfrac{1}{18}int dfrac{d(1-9u^2)}{sqrt{1-9u^2}}=intdfrac{dx}{x}\ \ -dfrac{1}{9}sqrt{1-9u^2}=ln |x|+C\ \ boxed{-dfrac{1}{9}sqrt{1-9cdot dfrac{y^2}{x^2}}=ln|x|+C}$

Получили общий интеграл)