Question

Помогите вычислить границу функции.

Answer 1

$displaystyle text{d}) lim_{x to infty} left(dfrac{4x + 5}{4x - 9} right)^{3x- 7} = lim_{x to infty} left(1 + dfrac{4x + 5}{4x - 9} - 1 right)^{3x- 7} =lim_{x to infty} left(1 + dfrac{14}{4x - 9} right)^{3x- 7} = \=lim_{x to infty} left(1 + dfrac{1}{dfrac{4x - 9}{14} } right)^{bigg{frac{4x - 9}{14}} cdot bigg{frac{14}{4x - 9} }cdot (3x- 7)} = e^{displaystyle lim_{x to infty} }^{bigg{frac{42x - 98}{4x - 9}}} = e^{bigg{frac{42}{4}}} = e^{10,5} = e^{10}sqrt{e}$

$displaystyle text{h}) lim_{x to infty} left(frac{3x - 2}{x - 1} right)^{bigg{frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} = lim_{x to infty} left(1 + frac{3x - 2}{x - 1} -1 right)^{bigg{frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} = lim_{x to infty} left(1 + frac{2x - 1}{x - 1} right)^{bigg{frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} =$$= displaystyle lim_{x to infty} left(1 + frac{1}{dfrac{x - 1}{2x - 1} } right)^{bigg{frac{x - 1}{2x - 1} cdot frac{2x - 1}{x - 1} cdot frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} = e^{ displaystyle lim_{x to infty} }^{bigg{frac{(2x-1)(3x-10)}{(x-1)(x^{2}-4)} }} =\= e^{ displaystyle lim_{x to infty} }^{bigg{frac{2x cdot 3x}{x cdot x^{2}} }} = e^{0} = 1$

Для нахождения пределов такого вида воспользуйтесь теоремой о втором замечательном пределе: имеет место соотношение вида $displaystyle lim_{x to infty} left(1 + frac{1}{x} right)^{x} = e$ или $displaystyle lim_{x to infty} left(1 + x right)^{bigg{frac{1}{x} }} = e$.