Question

решите неравенство (на фотографии)

Answer 1

Из условия следует, что

$g(x)=x^2+2x+2$. Соответственно $|g(x)-2|=|x^2+2x+2-2|=|x^2 + 2x|$ $|x|>|x^2+2x|$Решение разбиваем на два случая.

I случай: $xleq 3$. Тогда $f(t)=t$, соответственно $f(|x|)=|x|$.

В этом случае неравенство принимает следующий вид:

$|x|>|x^2+2x|Leftrightarrow (x-(x^2+2x))(x+(x^2+2x))>0;\\(-x^2-x)(x^2+3x)>0;\\-x(x+1)x(x+3)>0;|:(-1)\\x^2(x+1)(x+3)<0$

Так как значение выражения $x^2$ - неотрицательно пр любом $x$, то оно на знак левой части влиять не будет. Поэтому (с учетом того, что $xneq 0$) на него можно разделить обе части. В итоге имеем неравенство

$(x+1)(x+3)<0$, которое решаем методом интервалов (вложение 1) и получаем интервал $(-3; -1)$ (вложение 1) Условие $xleq 3$ он полностью удовлетворяет, поэтому первая часть ответа получена.

2 случай: $x>3$. Тогда $f(t)=9-2t$. Соответственно$f(|x|)=9-2|x|$. В этом случае неравенство принимает следующий вид:

$9-2|x|>|x^2+2x|$

В нашем случае, так как мы рассматриваем случай, когда x > 3, оба модуля раскрываются со знаком +, поэтому в итоге имеем неравенство

$9-2x>x^2+2x;\\x^2+4x-9<0$

Находим нули левой части:

$D=4^2-4cdot(-9)=16+36=52=4cdot13;\\x_{1,2}=frac{-4pmsqrt{4cdot13} }{2cdot1}=frac{-4pm2sqrt{13}}{2}=-2pmsqrt{13}$

Решая неравенство методом параболы (вложение 2), получаем: $xin (-2-sqrt{13};-2+sqrt{13})$. Но найденный интервал не удовлетворяет условие x > 3, поэтому в этом случае неравенство не будет иметь решений.

Значит, итоговый ответ - первый найденный интервал.

ОТВЕТ: (-3; -1).