Question

Докажите неравенство
​

Answer 1

Пусть некоторая тройка $(a_{0},; b_{0},; c_{0})$ - решение, т.е. удовлетворяет неравенству. Тогда легко проверить, что любая тройка $(ta_{0},; tb_{0},; tc_{0}),; t>0$ тоже подходит. Выберем $t=frac{c}{ab} >0$. Перепишем наше неравенство: $sqrt{a-c}+sqrt{b-c}leq sqrt{frac{ab}{c} }$. После увеличения каждой переменной в указанное количество раз, получим: $frac{atbt}{ct}=frac{ab}{c}t=1 Leftrightarrow ab=c$.

Итого: $sqrt{a-ab}+sqrt{b-ab}leq 1 Leftrightarrowsqrt{a(1-b)}+sqrt{b(1-a)}leq 1$. Теперь можем оценить левую часть, используя нер-во между ср.арифм. и ср.геом.: $sqrt{a(1-b)}+sqrt{b(1-a)}leq frac{a+1-b}{2}+frac{b+1-a}{2}=1$, что и требовалось