Question

Решить уравнения. Заменить одинаковое на t, как с биквадратными.
1) (х в квадрате— 8)в квадрате+4(х в квадрате - 8) – 5 = 0;
2) (x в квадрате + 6x)в квадрате + 8(x в квадрате - 6x) – 9 = 0;

Answer 1

$1) (x^{2} - 8)^{2} + 4(x^{2} - 8) - 5 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $x^{2} - 8 = t$

Получаем уравнение, которое решим относительно $t$:

$t^{2} + 4t - 5 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:

$displaystyle left { {{t_{1} + t_{2} = -4} atop {t_{1} cdot t_{2} = -5 }} right.$

$t_{1} = -5; t_{2} = 1$

Сделаем обратную замену:

$bullet x^{2} - 8 = -5; x^{2} = 3; x = pm sqrt{3}$

$bullet x^{2} - 8 = 1; x^{2} = 9; x = pm 3$

Ответ: $-3; -sqrt{3}; sqrt{3}; 3$

$2) (x^{2} + 6x)^{2} + 8(x^{2} + 6x) - 9 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $x^{2} + 6x = t$

Получаем уравнение, которое решим относительно $t$:

$t^{2} + 8t - 9 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:

$displaystyle left { {{t_{1} + t_{2} = -8} atop {t_{1} cdot t_{2} = -9 }} right.$

$t_{1} = -9; t_{2} = 1$

Сделаем обратную замену:

$bullet x^{2} + 6x = -9\x^{2} + 6x + 9 = 0\(x + 3)^{2} = 0\x + 3 = 0\x = -3$

$bullet x^{2} + 6x = 1\x^{2} + 6x - 1 = 0\D = 6^{2} - 4 cdot 1 cdot (-1) = 36 + 4 = 40\x_{1,2} = dfrac{-6 pm sqrt{40}}{2} = dfrac{-6 pm 2sqrt{10}}{2} = -3 pm sqrt{10} = left[begin{array}{ccc}x_{1} = -3 - sqrt{10}\x_{2} = -3 + sqrt{10}\end{array}right$

Ответ: $-3 - sqrt{10}; -3; -3 + sqrt{10}$