Question

Решите в целых числах уравнение: х^2+1974=у^2 или докажите, что уравнение целых решений не имеет.

Answer 1

Уравнение не имеет целых решений.

Преобразуем уравнение:

x²+1974=y²

x²-y²=1974

(x+y)(x-y)=1974

Значит можно решить систему уравнений:

х+у=a

x-y=b

x=(a+b)/2, где a, b множители числа 1974

Обратим внимание, что (a+b) - должно быть четным, чтобы получить целый корень. то есть оба слагаемых должны быть четными или оба нечетными.

Разложим 1974 на простые множители:

1974=2*3*7*47

Поскольку пр  разложении получилась одна 2, то как бы мы не группировали множители числа 1974 на 2, получится одно четное число и одно нечетное (2 и 987, 6 и 329, 14 и 141, и т.д.)

А значит невозможно получить такие a b, чтобы оба были четными или оба нечетными.

А значит целых корней у уравнения нет

ч.т.д.