Question

доказать ,что при любом натуральном n≥3
справедливо неравенство:​

Answer 1

Для начала проделаем трюк как при подсчете суммы арифметической прогрессии, то есть прибавим еще одну такую же сумму с 1/n+k и сгруппируем первый член суммы S1  с последним из суммы S2:

$(frac{1}{n+1} +frac{1}{n+2} +...+frac{1}{2n} +frac{1}{n+1} +frac{1}{n+2} +...+frac{1}{2n} ):2>frac{3}{5}$

группируем:

$((frac{1}{n+1} +frac{1}{2n}) +(frac{1}{n+2} +frac{1}{2n-1})+... +(frac{1}{2n} +frac{1}{n+1} ))/2$

всего таких сумм в скобках n

числитель каждой суммы равен 3n+1

а знаменатели будут вида: (2n)(n+1), (2n-1)(n+2)...

то есть вида аi*bj, однако, сумма множителей каждого знаменателя равна 3n+1

если предположить, что аi*bj - площади некоторого множества прямоугольников одинакового периметра, то есть элементарная теорема, о том, что каждая из этих площадей не больше площади квадрата того же периметра, то есть со стороной (3n+1)/2

то есть каждый знаменатель аi*bj можно заменить не меньшим 1/4*(3n+1)^2, в результате получим:

$((frac{1}{n+1} +frac{1}{2n}) +(frac{1}{n+2} +frac{1}{2n-1})+... +(frac{1}{2n} +frac{1}{n+1} )):2$

$frac{n}{2} *(frac{3n+1}{frac{(3n+1)^2}{4} })$

n/2*(4/(3n+1))=2n/(3n+1)

$2n/(3n+1)=frac{2}{3} *frac{n}{n+1/3 } =frac{2}{3} *frac{n+1/3-1/3}{n+1/3 }=frac{2}{3} -frac{1}{3n+1 }$

для n≥5 очевидно, что:

$frac{2}{3} -frac{3}{5} > frac{1}{3n+1}$

так как 3n+1>15

для n=1,2,3,4 подставляем в начальную формулу и находим, что n=3, 4 также удовлетворяют условию

значит, верно для всех нат n$geq$3