Question

5x^2+2x+6=0
3x^2+3x-6=0
x^2+3x+6=0​

Answer 1

Уравнения вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $aneq 0$, называются квадратными уравнениями. Для их решения делают следующие преобразования:

$ax^{2} + bx = -c | : a neq 0$

$x^{2} + dfrac{b}{a}x = -dfrac{c}{a}$

$x^{2} + 2cdot dfrac{b}{2a} cdot x + left(dfrac{b}{2a} right)^{2} - left(dfrac{b}{2a} right)^{2} = -dfrac{c}{a}$

$left(x + dfrac{b}{2a} right)^{2} = left(dfrac{b}{2a} right)^{2} -dfrac{c}{a}$

$left(x + dfrac{b}{2a} right)^{2} = dfrac{b^{2}}{4a^{2}} -dfrac{c}{a}$

$left(x + dfrac{b}{2a} right)^{2} = dfrac{b^{2} -4ac}{4a^{2}}$

$x + dfrac{b}{2a} right = pmsqrt{dfrac{b^{2} -4ac}{4a^{2}}}$

$x + dfrac{b}{2a} right = pmdfrac{sqrt{b^{2} -4ac}}{2a}$

$x = dfrac{-b pm sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

Выражение $D=b^{2} - 4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения, поэтому $x = dfrac{-b pm sqrt{D}}{2a}$

Решим предложенные уравнения.

$1) 5x^{2} + 2x + 6 = 0$

Здесь $a = 5; b = 2; c = 6$

Дискриминант $D = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 cdot 5 cdot 6 = 4 - 120 = -116 < 0$

Поскольку дальше при вычислении корней квадратного уравнения надо знать $sqrt{D}$, а $sqrt{-116}$ в действительных числах не существует, значит, данное уравнение не имеет решений.

$2) 3x^{2} + 3x - 6 = 0$

Здесь $a = 3; b = 3; c = -6$

Дискриминант $D = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 cdot 3 cdot (-6) = 9 + 72 = 81$

$x_{1} = dfrac{-b + sqrt{D}}{2a} = dfrac{-3 + sqrt{81}}{2 cdot 3} = dfrac{-3 + 9}{6} = dfrac{6}{6} = 1$

$x_{2} = dfrac{-b - sqrt{D}}{2a} = dfrac{-3 - sqrt{81}}{2 cdot 3} = dfrac{-3 - 9}{6} = dfrac{-12}{6} = -2$

Примечание. Для более удобного решения можно было разделить почленно левую часть уравнения на 3 и получить равносильное уравнение $x^{2} + x - 2 = 0$, корнями которого были бы те же $x_{1}$ и $x_{2}$.

$3) x^{2} + 3x + 6 = 0$

Здесь $a = 1; b = 3; c = 6$

Дискриминант $D = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 cdot 1 cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$

Аналогично уравнению (1) уравнение не имеет решений.

Answer 2

5x^2+2x+6=0

Дискриминант здесь 4-4*5*6 отрицательный, поэтому действительных корней нет.

3x^2+3x-6=0

х=-3±√(9+72)/6=(-3±9)/6

х=-2; х=1

x^2+3x+6=0​

Та же беда. Дискриминант отрицат. , 9-4*6, корней нет.