Question

В треугольнике MFP вершины имеют следующие координаты: М(0; 0; 0), F(2; -1; 3),
P(-1; 1; 1). Найдите диаметр окружности, описанной вокруг этого треугольника.​

Answer 1

Ответ: √17

Объяснение:

1. Найдём стороны треугольника MFP (длины векторов).

Формула:

$|overrightarrow{XY}| =sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2)},$

где

$X(x_1,y_1,z_1),quad Y(x_2,y_2,z_2).$

Решение:

$FM=|overrightarrow{FM}| =sqrt{(2-0)^2+(-1-0)^2+(3-0)^2)}=sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=sqrt{14} \ \PM=|overrightarrow{PM}| =sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2)}=sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=sqrt{3} \ \FP=|overrightarrow{FP}| =sqrt{(2+1)^2+(-1-1)^2+(3-1)^2)}=sqrt{3^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{17}$

2. Определение вида треугольника.

Проверим теорему Пифагора для треугольника MFP (наибольшая сторона FP предположительно гипотенуза):

$FP^2=FM^2+PM^2\ \ (sqrt{17})^2=(sqrt{14})^2+(sqrt{3})^2\ \ 17=14+3\ 17=17$

Равенство верное ⇒ треугольник MFP прямоугольный.

3. Нахождение диаметра описанной окружности.

Так как треугольник MFP прямоугольный, то центр описанной окружности будет лежать на середине гипотенузы, а радиус равен её половине, то есть

$R=frac{1}{2}FP$

Диаметр равен удвоенному радиусу, откуда:

$D=2R=2cdot frac{1}{2}FP=FP=sqrt{17}$