Question

50 баллов!!1 Решить тригонометрическое уравнение:
$tan(x) + sqrt{ sin(x) } = 0$
​

Answer 1

$text{tg} , x + sqrt{sin x} = 0$

$dfrac{sin x}{cos x} = -sqrt{sin x}$

ОДЗ: $displaystyle left { {{cos x neq 0} atop {sin x geq 0}} right. displaystyle left { {{x neq dfrac{pi}{2} + pi n, n in Z } atop {x in left[2pi n; pi + 2pi n right], n in Z}} right.$

Следовательно, $x in left[2pi n; dfrac{pi}{2} + 2pi n right) cup left(dfrac{pi}{2} + 2pi n; pi + 2pi n right], n in Z$

$left(dfrac{sin x}{cos x}right)^{2} = left(-sqrt{sin x}right)^{2}$

$dfrac{sin^{2} x}{cos^{2} x} = sin x$

$sin^{2}x = sin x cos^{2}x$

$sin^{2}x = sin x (1 - sin^{2}x)$

$sin^{2}x = sin x - sin^{3}x$

$sin^{3}x + sin^{2}x - sin x=0$

$sin x(sin^{2}x + sin x - 1)=0$

$left[begin{array}{ccc}sin x = 0 \ sin^{2}x + sin x - 1=0\end{array}right$

Решим оба уравнения:

$1) sin x = 0\x = pi n, n in Z$

$2) sin^{2}x + sin x - 1 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $sin x = t, t in [-1; 1]$

$t^{2}+ t - 1 = 0$

$D = 1^{2} - 4 cdot 1 cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$t_{1} = dfrac{-1 + sqrt{5}}{2}$

$t_{2} = dfrac{-1 - sqrt{5}}{2} < -1$ — посторонний корень

Обратная замена:

$sin x = dfrac{-1 + sqrt{5}}{2}$

Поскольку $sin alpha = sin (pi - alpha )$, то:

$left[begin{array}{ccc}sin x = dfrac{-1 + sqrt{5}}{2} \sin (pi - x) = dfrac{-1 + sqrt{5}}{2}\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc} x = arcsindfrac{-1 + sqrt{5}}{2} + 2pi k, k in Z \pi - x = arcsin dfrac{-1 + sqrt{5}}{2} + 2pi k, k in Z \end{array}right$

$left[begin{array}{ccc} x = arcsindfrac{-1 + sqrt{5}}{2} + 2pi k, k in Z \ x = -arcsin dfrac{-1 + sqrt{5}}{2} + pi + 2pi k, k in Z \end{array}right$

Первый корень не обращает в правильное равенство уравнение $text{tg} , x + sqrt{sin x} = 0$, значит, подойдет только один корень: $x = -arcsin dfrac{-1 + sqrt{5}}{2} + pi + 2pi k, k in Z$

Ответ: $pi n; -arcsin dfrac{-1 + sqrt{5}}{2} + pi + 2pi k; n, k in Z$