Question

на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка K прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M при этом LK=9, KM=4 Найдите AK

Answer 1

Треугольники $AMD$ и $CML$ подобны по двум углам ($angle AMD=angle CML$ как вертикальные; $angle DAM=angle ALC$ как накрест лежащие при $BLparallel AD$ и секущей $AL$). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон

$dfrac{AM}{MD}=dfrac{ML}{CM}~~Leftrightarrow~~dfrac{AK+4}{MD}=dfrac{5}{CM}~~~Rightarrow~~~ AK=dfrac{5MD}{CM}-4$

Из подобия треугольников $ABK$ и $KMD$ имеем

$dfrac{AB}{AK}=dfrac{MD}{KM}~~Rightarrow~~~dfrac{CM+MD}{AK}=dfrac{MD}{4}~~Rightarrow~~~dfrac{1}{AK}+dfrac{MD}{AKcdot CM}=dfrac{MD}{4CM}$

$dfrac{1}{AK}cdot left(1+dfrac{AK+4}{5}right)=dfrac{1}{4}cdot dfrac{AK+4}{5}~~~bigg|cdot 20AK\ \ 20+4AK+16=AK^2+4AK\ \ AK^2=36\ \ AK=6$

Ответ: 6.