Question

. Розв’язати задачу використовуючи основні поняття, теореми та формули теми «Дискретні випадкові величини»: для даних випадкових величин скласти закон розподілу, знайти математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення . В ящику 5 білих, 3 чорних та 4 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. Тут {число білих кульок серед вилучених}

Answer 1

Розглянемо випадкову величину $X$ — число білих кульок серед вилучених.

Всього можливих подій: $n=C^2_{12}=dfrac{12!}{10!2!}=66$.

1) Імовірність того, що серед навмання вилучених 2 кульок не буде білої :

$PBig(X=0Big)=dfrac{C^2_{3+4}}{n}=dfrac{C^2_7}{n}=dfrac{dfrac{7!}{2!5!}}{66}=dfrac{21}{66}=dfrac{7}{22}$

2) Імовірність того, що серед навмання вилучених 2 кульок буде одна біла кулька:

$PBig(X=1Big)=dfrac{C^1_5cdot C^1_{3+4}}{n}=dfrac{5cdot C^1_7}{66}=dfrac{5cdot 7}{66}=dfrac{35}{66}$

3) Імовірність того, що серед навмання вилучених 2 кульок всі кульки будуть білими:

$PBig(X=2Big)=dfrac{C^2_5}{n}=dfrac{dfrac{5!}{2!3!}}{66}=dfrac{10}{66}=dfrac{5}{33}$

Закон розподілу випадкової величини $X:$

Xi        0           1          2

Pi      7/22    35/66   5/33

Знайдемо математичне сподівання випадкової величини $X:$

$MX=displaystyle sum_ix_ip_i=0cdot dfrac{7}{22}+1cdot dfrac{35}{66}+2cdot dfrac{5}{33}=dfrac{35+20}{66}=dfrac{55}{66}=dfrac{5}{6}$

Дисперсія випадкової величини $X:$

$DX=MX^2-(MX)^2=displaystyle sum_ix_i^2p_i-(MX)^2=0^2cdot dfrac{7}{22}+1^2cdot dfrac{35}{66}+2^2cdot dfrac{5}{33}-\ \ -left(dfrac{5}{6}right)^2=dfrac{35+40}{66}-dfrac{25}{36}=dfrac{75}{66}-dfrac{25}{36}=dfrac{25}{22}-dfrac{25}{36}=dfrac{175}{396}$

Середнє квадратичне відхилення:

$sigma X=sqrt{DX}=sqrt{dfrac{175}{396}}=dfrac{5sqrt{77}}{66}$