Question

В треугольнике ABC проведены биссектрисы двух.внешних углов B и C. Докажите, что они пересекаются под углом 90 градусов минус половина угла

Answer 1

Пусть $sf angle BCA=alpha$ и $angle ABC=beta$. Тогда $angle ECB=180^circ-alpha$ и $angle DBC=180^circ -beta$. Поскольку $CF$ - биссектриса угла $ECB$, то $angle ECF=angle BCF=90^circ -dfrac{alpha}{2}$. Аналогично, $BF$ - биссектриса угла $DBA$, то $angle DBF=angle CBF=90^circ -dfrac{beta}{2}$.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180°

$angle BAC+alpha+beta=180^circ\ \ 180^circ-angle BAC=alpha+beta$

$angle CFB=180^circ -Big(90^circ -dfrac{alpha}{2}+90^circ -dfrac{beta}{2}Big)=dfrac{alpha+beta}{2}=90^circ -dfrac{angle BAC}{2}$