Question

Решить дифференциальное уравнение:


y'+2xy=2$x^{3}$$y^{3}$

Answer 1

Перепишем данное дифференциальное уравнение в виде:

$dfrac{y'}{y^3}+dfrac{2x}{y^2}=2x^3$

Введём замену $u=dfrac{1}{y^2}$, дифференцируя: $u'=-dfrac{2y'}{y^3}$, получаем

$u'-4ux=-4x^3$

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель $e^{int -4x dx}=e^{-2x^2}$

$u'cdot e^{-2x^2}+Big(-4xe^{-2x^2}Big)cdot y=4x^3e^{-2x^2}\ \ Big(ucdot e^{-2x^2}Big)'=-4x^3e^{-2x^2}\ \ \ ucdot e^{-2x^2}=displaystyle -int 4x^3e^{-2x^2}dx=[po~~ chastyam]=dfrac{2x^2+1}{2}e^{-2x^2}+C\ \ \ u=dfrac{2x^2+1}{2}+Ce^{2x^2}$

Выполним обратную замену

$dfrac{2x^2+1}{2}+Ce^{2x^2}=dfrac{1}{y^2}$ — общий интеграл