Question

4)Исследовать сходимость числового ряда
5)Найти интервал сходимости степенного ряда

Answer 1

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{(2n+1)^3-1}leq sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{(2n)^3}=dfrac{1}{8}sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^3}$

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^3}$ сходится как частный случай обобщенного гармонического ряда с  $l=3>1$. Тогда исходный ряд сходится по признаку сравнения

____________________________________________________________

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{(2n)!}{n^n}x^n\limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{(2n)!}{n^n}}=limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{sqrt{4pi n}(frac{2n}{e})^{2n}}{n^n}}=dfrac{2^2}{e^2}limlimits_{ntoinfty}n=infty=>R=0$

А значит ряд сходится при $x=0$

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

Условие можно интерпретировать иначе:

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{2*n!}{n^n}x^n\limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{2*n!}{n^n}}=limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{2sqrt{2pi n}(frac{n}{e})^{n}}{n^n}}=dfrac{1}{e}=>R=e=>xin(-e;e)$

Ответ: $(-e;e)$