Question

При яких значеннях параметра a рівняння x^3-13x^2+ax-27=0 має три дійсних корені, як утворюють геометричну прогресію?

Answer 1

Нехай ${b_n}$ - послідовність геометричної прогресії з першим членом $b_1$ і знаменником прогресії $q$. Знаючи, що корені рівняння $x^3-13x^2+ax-27=0$ утворюють геометричну прогресію, то ліву частину рівняння можна представити у наступному вигляді:

$x^3-13x^2+ax-27=(x-b_1)(x-b_1q)(x-b_1q^2)=x^3-b_1q^2x^2-b_1qx^2+\ \ +b_1^2q^3x-x^2b_1+b_1q^2x+b_1^2qx-b_1^3q^3=x^3-x^2b_1(q^2+q+1)+\ \ +b_1^2q(q^2+q+1)x-b_1^3q^3$

Прирівнюючи коефіцієнти при степені $x$, отримаємо

$begin{cases} & text{ } b_1(q^2+q+1)=13 \ & text{ } b_1^2q(q^2+q+1)=a \ & text{ } b_1^3q^3=27 end{cases}~~Rightarrow~begin{cases} & text{ } b_1(q^2+q+1)=13 \ & text{ } 13b_1q=a \ & text{ } b_1q=3 end{cases}~Rightarrow~ a=13cdot 3=39$

Відповідь: 39.