Ответы
Исследование проводится по следующей примерной схеме:
1) выяснение области определения функции.
Знаменатель дроби не должен равняться 0:
(х² - 4) ≠ 0, х ≠ +-2.
х ∈ (-∞; -2)∪(-2; 2)∪(2; +∞).
2) решается вопрос о четности или нечетности функции.
f(-
х) = -x³/(x² - 4) = -f(x), значит, функция нечётная.
3) исследуется периодичность функции - не периодичная.
4) находят точки пересечения кривой с осями координат (нули функции). х = 0, у = 0
у = x³/(x² - 4) = 0, х = 0.
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер.
Точками разрыва второго рода называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
Такие точки определены в пункте 1: х = -2 и х = 2.
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции.
Находится производная и приравнивается нулю - это критические точки. y' = (2x²(x² - 12)/((x² - 4)²).
Приравниваем 0 числитель: (2x²(x² - 12) = 0.
Имеем 3 решения: х = 0, х = +√12 = 2√3 и х = -2√3.
Проверяем свойства критических точек по знакам производной левее и правее критической точки
Имеем: х = 0 не экстремум,
х = - 2√3 это локальный максимум,
х = 2√3 это локальный минимум.
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
Находим вторую производную: y'' = (16x(x² + 12)/((x² - 4)³).
Как видим, она равна 0 только при х = 0
Это одна точка перегиба.
Левее х = -2√3 график выпуклый, правее х = 2√3 - вогнутый.
На промежутке от х = -2√3 до х = 2√3 график меняется с вогнутого на выпуклый в точке х = 0.
8) отыскание асимптот кривой.
Вертикальные асимптоты определились в пункте 1: х = -2 и х = 2 в точках разрыва функции.
Горизонтальных - нет
Наклонная в виде у = кх определена по пределу: k = lim(y/x), x⇒∞.
у = 2х.
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.
