Question

Помогите пожалуйство очень срочно!!!
Вычислить наибольшую площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса R так, что нижним основанием трапеции служит диаметр полукруга

Answer 1

Если трапеция вписана в окружность то она равнобедренная. $angle ACD=90^circ$, поскольку он опирается на диаметр окружности. Следовательно, CO - медиана прямоугольного треугольника ADC и $CO=AO=OD=R$. Тогда $AD=2R$ и пусть $BC=x$.

$FD=dfrac{AD-BC}{2}=dfrac{2R-x}{2}=R-dfrac{x}{2}$

$OF=OD-FD=R-left(R-dfrac{x}{2}right)=dfrac{x}{2}$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $COF$

$CF=sqrt{R^2-left(dfrac{x}{2}right)^2}=dfrac{1}{2}sqrt{4R^2-x^2}$

Рассмотрим функцию $S(x)=dfrac{2R+x}{2}cdotdfrac{1}{2}sqrt{4R^2-x^2}=dfrac{(2R+x)sqrt{4R^2-x^2}}{4},~~ 0leq xleq 2R$

$S'(x)=dfrac{1}{4}left(sqrt{4R^2-x^2}+(2R+x)cdot dfrac{-2x}{2sqrt{4R^2-x^2}}right)=\ \ \ =dfrac{1}{4}left(sqrt{4R^2-x^2}-dfrac{2Rx+x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}right)=dfrac{-2x^2-2Rx+4R^2}{4sqrt{4R^2-x^2}}$

Приравниваем производную функции к нулю

$-dfrac{2x^2+2Rx-4R^2}{4sqrt{4R^2-x^2}}=0~~~Rightarrow~~~ 2x^2+2Rx-4R^2=0\ \ \ x^2+Rx-2R^2=0\ \ x^2+2Rx-Rx-2R^2=0\ \ x(x+2R)-R(x+2R)=0\ \ (x+2R)(x-R)=0$

$x_1=-2R$ — не принадлежит $x in [0;2R]$

$x_2=R$

[0]____+____[R]____-_____[2R]

Функция на промежутке $x in [0;R]$ возрастает, а затем на $x in [R;2R]$ убывает, следовательно, $x=R$ - относительный максимум

$S(R)=dfrac{(2R+R)sqrt{4R^2-R^2}}{4}=dfrac{3sqrt{3}}{4}R^2$

Ответ: $dfrac{3sqrt{3}}{4}R^2$