Question

Найти частное решение(частный интеграл) д.у. (2x+y)dy=ydx+4lnydy, y(0)=1 (Ответ:x=2lny+1-y). Прошу вас от чистого серда ответить быстро и развернуто. Заранее благодарю.

Answer 1

$(2x+y-4ln y)dy-ydx=0$

Уравнение $M(x;y)dx+N(x;y)dy=0$ есть уравнением в полных дифференциалах тогда, когда выполнено равенство $M'_y(x;y)=N'(x;y)$. Данное уравнение имеет интегрирующий множитель $mu (y)$,т.е.

$mu (y)M(x;y)+mu (y)N(x;y)y'=0\ -ycdot dfrac{mu(y)}{dy}-mu(y)=2mu(y)\ \ mu (y)=displaystyle int -dfrac{3}{y}dy=dfrac{1}{y^3}$

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, получим, что данное диф. уравнение будет в полных дифференциалах. Легко проверить: $M'_y(x;y)=dfrac{2}{y^3}=N'_x(x;y)$

Если функция $F(x;y)$ удовлетворяет $F'_x(x;y)=M(x;y)$ и $F'_y(x;y)=N(x;y)$ , то решение $F(x;y)=C$, где $Cin mathbb{R}$.

Интегрируя функцию F по х, получим

$F(x;y)=displaystyle int M(x;y)dx=int -dfrac{dx}{y^2}=-dfrac{x}{y^2}+C(y)$

Дифференцируя по у, получим $F'_y(x;y)=dfrac{2x}{y^3}+C'(y)$

Мы имеем $F'_y(x;y)=N(x;y)=-dfrac{4ln y-y-2x}{y^3}$ отсюда $C'(y)=-dfrac{4ln y-y}{y^3}$ получаем $C(y)=displaystyle int left(-dfrac{4ln y-y}{y^3}right)dy=-4cdot left(-dfrac{ln y}{2y^2}-dfrac{1}{4y^2}right)-dfrac{1}{y}$

Общий интеграл: $-4cdot left(-dfrac{ln y}{2y^2}-dfrac{1}{4y^2}right)-dfrac{1}{y}-dfrac{x}{y^2}=C$

Подставив начальные условия, мы получим

-1 - 1 = C

C = -2

$boxed{-4cdot left(-dfrac{ln y}{2y^2}-dfrac{1}{4y^2}right)-dfrac{1}{y}-dfrac{x}{y^2}=-2~~~Rightarrow~~~ x=2ln y+1-y}$