Question

Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.(Помогитеее

​

Answer 1

$sumlimits_{n=1}^infty dfrac{(x+1)^{2n}}{9}=sumlimits_{n=1}^infty a_n$

$lim_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}=lim_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{(x+1)^{2n}}{9}}=(x+1)^2$

Ряд сходится при $(x+1)^2<1=>|x+1|<1$ и при $(x+1)^2>1$ расходится по признаку Коши.

Тогда радиус сходимости равен 1, а интервал получим из неравенства $|x+1|<1=>xin(-2;0)$

Ответ: 1; (-2;0)

____________________________

2 способ

Степенной ряд имеет вид $sumlimits_{n=1}^infty dfrac{(x+1)^{2n}}{9}=0*(x+1)^1+dfrac{1}{9}(x+1)^2+0*(x+1)^3+dfrac{1}{9}(x+1)^4+...$

Тогда последовательность коэффициентов степенного ряда разбивается на 2 подпоследовательности: $c_k=0,; k=2n-1; c_k=dfrac{1}{9},; k=2n$

Тогда используем формулу Коши-Адамара:

$dfrac{1}{R}=overline{limlimits_{ktoinfty}}sqrt[n]{|c_k|}=max{0, limlimits_{ntoinfty}sqrt[2n]{dfrac{1}{9}}}=1=>R=1=>xin(-2;0)$