Question

1. Определите количество действительных корней уравнения x^4+x^3+x^2+x+1=0. Если уравнение ни имеет решений, в ответ запишите число 0. Если уравнение имеет бесконечное множество решений, в ответ запишите число 100.

2.Выражение (x+2)^6 представили в виде многочлена стандартного вида (раскрыли скобки). Определите коэффициент перед x3.

3. Найдите значение выражения ((21^(x+4))⋅(25^(x+1))) / ((15^(x-1)) *(35^(x+3)))

Answer 1

1. Найдём минимальное значение функции, для этого возьмём производную.

$f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^3 - x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2(x-1)$

Так как $(x^2+1)^2$ всегда положительна и $(x^2+1)^2 geqslant x^2(x-1) ;(x^2 + 1 > x^2; ;x^2+1>x-1)$, следовательно ответ 100.

2. $(x+2)^6$

$x^3$ получится, когда мы с трёх скобок в качестве сомножителя возьмём x, а других 2.

$C_6^3cdot8 = frac{6!}{3!cdot3!}cdot8 = 160$

3. $frac{21^{x+4}cdot25^{x+1}}{15^{x-1}cdot35^{x+3}} = frac{3^4cdot3^xcdot7^4cdot7^x5^xcdot5^xcdot5^2}{3^xcdot3^{-1}5^xcdot5^{-1}cdot5^xcdot5^3cdot7^xcdot7^3} = 3^5cdot7$