Question

Медіани BF і CN трикутника АВС дорівнює 27 см і 36 см відповідно,а кут між ними дорівнює 90градусів.Знайдіть медіану АР.

Answer 1

Всі три медіани перетинаються в одній точці і точкою перетину медіан трикутника кожна медіана ділиться у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника. Значить, $OF = 9$ см і $BO=18$ см; $ON=12$ см і $CO=24$ см.

З прямокутного трикутника FOC:

$FC=sqrt{24^2+9^2}=sqrt{657}$ см

З прямокутного трикутника COB:

$BC=sqrt{24^2+18^2}=30$ см

З прямокутного трикутника NOB:

$NB=sqrt{12^2+18^2}=sqrt{468}$ см

Оскільки, BF, AP, CN - медіани, то $AC=2sqrt{657}$ см і $AB=2sqrt{468}$ см.

Добудуємо трикутник ABC до паралелограма ABDC. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі його всіх сторін.

$AD^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)\ \ (2AP)^2+30^2=2cdot (4cdot 468+4cdot 657)~~|:4\ \ AP^2+225=2cdot 1125\ \ AP^2=2025\ \ AP=45~_{sf cm}$

Відповідь: 45 см.