Question

Помогите решить задачи!!
Даны точки А(2;-1), С (3;2) и D (-3;1). Найдите:
1) координаты векторов АС и АD
2) модули векторы АС и AD
3) Координаты векторов EF= 3*AC - 2*AD
4)Скалярное произведение векторов АС и AD
5) Косинус угла между векторами АС и АD

Answer 1

Теория:

Координаты вектора

Пусть даны точки X(x₁, x₂), Y(y₁, y₂), тогда

$overrightarrow{XY}=(y_1-x_1;y_2-x_2)$

Длина вектора

Пусть дан вектор a{a₁, a₂}, тогда

$|overrightarrow{a}|=sqrt{ a_1^2+a_2^2}$

Скалярное произведение (по координатам)

Пусть даны векторы a{a₁, a₂} и b{b₁, b₂}, тогда

$overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}=a_1cdot b_1+a_2cdot b_2$

Угол между векторами

Пусть даны векторы a и b и ∠(a, b) = α, тогда

$cosalpha =frac{overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}|cdot|overrightarrow{b}|}$

Умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов проводится покоординатно.

Решение:

$1)\ overrightarrow{AC}=(3-2;2-(-1))=(1;2+1)=(1;3)\ overrightarrow{AD}=(-3-2;1-(-1))=(-5;1+1)=(-5;2)\ \ 2)\ |overrightarrow{AC}|=sqrt{ 1^2+3^2}=sqrt{1+9}=sqrt{10}\ |overrightarrow{AD}|=sqrt{ (-5)^2+2^2}=sqrt{25+4}=sqrt{29}\ \ 3)\ 3overrightarrow{AC}=(3cdot1;3cdot3)=(3;9)\ 2overrightarrow{AD}=(2cdot(-5);2cdot2)=(-10;4)\ overrightarrow{EF}=3overrightarrow{AC}-2overrightarrow{AD}=(3-(-10);9-4)=(13;5)$

$4)quad overrightarrow{AC}cdotoverrightarrow{AD}=1cdot(-5)+3cdot2=-5+6=1\ \ 5)quad cosangle(overrightarrow{AC},overrightarrow{AD}) =frac{overrightarrow{AC}cdotoverrightarrow{AD}}{|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{AD}|}=frac{1}{sqrt{10}cdotsqrt{29}}=frac{1}{sqrt{290}} =frac{sqrt{290}}{290}$