Question

Число 2020 обладает интересным свойством: если вставить знак умножения между второй и третьей цифрами этого числа, то получившееся произведение 20 х 20 будет квадратом натурального числа. Сколько чисел между 2010 и 2099 (включая 2020) обладают таким же свойством?

Answer 1

Рассмотрим число $2000+x$, где $10leq xleq 99$. Тогда число $20x$ должно быть точным квадратом.

Преобразуем число:

$20x=4cdot5x=2^2cdot5x=n^2, ninmathbb{N}$

Чтобы получить точный квадрат, число $x$ должно быть кратным 5. Без учета сомножителя 5, число х должно быть тоже точным квадратом, то есть: $dfrac{x}{5} =k^2, kin mathbb{N}$. Значит, $x=5k^2, kin mathbb{N}$.

Пусть $k=1$. Тогда, $x=5cdot1^2=5notin[10; 99]$ - не подходит

Пусть $k=2$. Тогда, $x=5cdot2^2=20$ - подходит

Пусть $k=3$. Тогда, $x=5cdot3^2=45$ - подходит

Пусть $k=4$. Тогда, $x=5cdot4^2=80$ - подходит

Пусть $k=5$. Тогда, $x=5cdot5^2=125notin[10; 99]$ - не подходит

При больших значениях $k$ получаемые $x$ тем более не будут попадать в заданный отрезок.

Значит, таких чисел три: 2020, 2045 и 2080.

Ответ: 3