Question

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

2xyy' = x^2 + y^2

Answer 1

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$, получаем

$2ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\ \ x=0;~~ 2uu'x+2u^2=1+u^2\ \ 2uu'x=1-u^2$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$u'=dfrac{1-u^2}{2ux}\ \ dfrac{du}{dx}=dfrac{1-u^2}{2ux}~~~Rightarrow~~ displaystyle int dfrac{2udu}{1-u^2}=int dfrac{dx}{x}~~Rightarrow~~ -int dfrac{d(1-u^2)}{1-u^2}=int dfrac{dx}{x}\ \ \ ln|1-u^2|=-ln |x|+ln C\ \ 1-u^2=dfrac{C}{x}\ \ u=pmsqrt{1-dfrac{C}{x}}$

Выполним обратную замену, сделав подстановку $u=dfrac{y}{x}$

$dfrac{y}{x}=pmsqrt{1-dfrac{C}{x}}\ \ y=pm xsqrt{1-dfrac{C}{x}}$

Получили общее решение и это будет ответом.