Question

Решите уравнение sin3x=sin5x и найдите все его корни принадлежащие промежутку [0; π]

Answer 1

Ответ:

$a) pi n; frac{pi}{8}+frac{pi n}{4} , n in Z. \ \ b) 0; frac{pi}{8}; frac{3pi}{8}; frac{5pi}{8}; frac{7pi}{8}; pi.$

Объяснение:

перенесем все в одну часть и воспользуемся формулой преобразования разности в произведение:

$sin3x-sin5x=0 \ \ 2sinfrac{3x-5x}{2}*cosfrac{3x+5x}{2}=0 \ \ 2sin(-x)*cos4x=0 \ \ -2sinx*cos4x=0$

произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$left[ begin{gathered} sinx=0\ cos4x=0end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} x=pi n\ 4x=frac{pi}{2}+pi n, n in Z end{gathered} right. Leftrightarrow left[begin{gathered} x=pi n\ x=frac{pi}{8}+frac{pi n}{4} , n in Z end{gathered} right.$

так как промежуток дан несложный, то можно корни найти подбором, присваивая n целые значения

$1) x=pi n \ a) n=0 Rightarrow x=0; \ b) n=1 Rightarrow x=pi \ \ 2) x=frac{pi}{8}+frac{pi n }{4} \a) n=0 Rightarrow x=frac{pi}{8} \ b) n=1 Rightarrow x=frac{pi}{8} +frac{pi}{4} =frac{3pi}{8} \ c) n=2 Rightarrow x=frac{pi}{8} +frac{2pi}{4} =frac{5pi}{8} \ d) n=3 Rightarrow x=frac{pi}{8} +frac{3pi}{4} =frac{7pi}{8}$