Ответы
Ответ:
Рассмотрим функции u=u(x) и v=v(x), которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
d(uv)=udv+vdu
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
∫d(uv)=∫(udv+vdu)⇒uv=∫udv+∫vdu
Полученное равенство перепишем в виде:
∫udv=uv−∫vdu
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл ∫udv можно свести к нахождению интеграла ∫vdu, который может быть более простым.
В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.
Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:
1) ∫Pn(x)ekxdx ; ∫Pn(x)sin(kx)dx ; ∫Pn(x)cos(kx)dx
Здесь Pn(x) - многочлен степени n, k - некоторая константа. В данном случае в качестве функции u берется многочлен, а в качестве dv - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется n раз.
Примеры решения интегралов данным методом
Задание. Найти интеграл ∫(x+1)e2xdx
Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.

=(x+1)e2x
2
−1
2
∫e2xdx=(x+1)e2x
2
−1
2
⋅1
2
e2x+C=
=(x+1)e2x
2
−e2x
4
+C
Ответ.
∫(x+1)e2xdx=
(x+1)e2x
2
−
e2x
4
+C
Больше примеров решений

Решение интегралов онлайн
Задание. Найти интеграл ∫x2cosxdx
Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.


=x2sinx−2(x⋅(−cos)x−∫(−cosx)dx)=
=x2sinx+2xcosx−2∫cosxdx=
=x2sinx+2xcosx−2sinx+C=(x2−1)sinx+2xcosx+C
Ответ.∫x2cosxdx=(x2−1)sinx+2xcosx+C
2)∫Pn(x)arcsinxdx ; ∫Pn(x)arccosxdx ; ∫Pn(x)lnxdx
Здесь принимают, что dv=Pn(x)dx, а в качестве u оставшиеся сомножители.
Задание. Найти интеграл ∫lnxdx
Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.

=xlnx−∫dx=xlnx−x+C=x(lnx−1)+C
Ответ. ∫lnxdx=x(lnx−1)+C
Больше примеров решений

Решение интегралов онлайн
Задание. Найти интеграл ∫arcsinxdx
Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.


=xarcsinx−∫−tdt√t2=xarcsinx+∫tdt
t
=xarcsinx+∫dt=
=xarcsinx+t+C=xarcsinx+
√
1−x2
+C
Ответ.
∫arcsinxdx=xarcsinx+
√
1−x2
+C
3)∫ekx+bsin(cx+f)dx ; ∫ekx+bcos(cx+f)dx
В данном случае в качество u берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция. Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции u берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.
Задание. Найти интеграл ∫e2x+1sinxdx
Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.

=−e2x+1cosx−∫(−cosx)⋅
e2x+1
2
dx=

=−e2x+1cosx+
1
2
(e2x+1sinx−∫sinx⋅e2x+1
2
dx)
=
=−e2x+1cosx+e2x+1sinx
2
−1
4
∫e2x+1sinxdx
Таким образом, получили равенство:
∫e2x+1sinxdx=−e2x+1cosx+
e2x+1sinx
2
−
1
4
∫e2x+1sinxd
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, имеем:
∫e2x+1sinxdx+1
4
∫e2x+1sinxdx=−e2x+1cosx+e2x+1sin
2
или
5
4
∫e2x+1sinxdx=−e2x+1cosx+
e2x+1sinx
2
Далее домножая левую и правую части равенства на
4
5
, окончательно имеем:
∫e2x+1sinxdx=−
4e2x+1cosx
5
+
2e2x+1sinx
5
+C
Ответ.
∫e2x+1sinxdx=−
4e2x+1cosx
5
+
2e2x+1sinx