Question

Компьютерная программа случайным образом отбирает двузначные числа. Если выбранное компьютером число умножить на произведение его цифр, то получится 255. Какое число отобрала программа?

Answer 1

Пусть $overline{xy}=10x+y$ - случайное двузначное число, которое отбирает компьютер. Согласно условию: $(10x+y)xy=255$

Делители числа 255: 1; 3; 5; 15; 17; 51; 85; 255.

Решаем последнее уравнение в натуральных числах

$begin{cases} & text{ } 10x+y=255 \ & text{ } xy=1end{cases}~~Rightarrow~~ varnothing$                       $begin{cases} & text{ } 10x+y=5 \ & text{ } xy=51end{cases}~~Rightarrow~~ varnothing$

$begin{cases} & text{ } 10x+y=3 \ & text{ } xy=85end{cases}~~Rightarrow~~ varnothing$                           $begin{cases} & text{ } 10x+y=15 \ & text{ } xy=17end{cases}~~Rightarrow~~ varnothing$

$begin{cases} & text{ } 10x+y=17 \ & text{ } xy=15end{cases}~~Rightarrow~~ varnothing$                         $begin{cases} & text{ } 10x+y=51 \ & text{ } xy=5end{cases}~~Rightarrow~~ begin{cases} & text{ } x=5 \ & text{ } y=1 end{cases}$

$begin{cases} & text{ } 10x+y=85 \ & text{ } xy=3end{cases}~~~Rightarrow~~~begin{cases} & text{ } x=dfrac{85pm7sqrt{145}}{20} \ & text{ } y=dfrac{85pm7sqrt{145}}{2} end{cases}$

$begin{cases} & text{ } 10x+y=255 \ & text{ } xy=1end{cases}~~~Rightarrow~~~varnothing$

Ответ: программа отобрала число 51.