Question

Задачи на математическую индукцию. Найти сумму в обоих пунктах (через формулу). Написать нормальное решение( База, переход)
Даю 50 баллов.

Answer 1

a) Покажем, что $dfrac{1cdot 2!}{2}+dfrac{2cdot 3!}{2^2}+dots+dfrac{n(n+1)!}{2^n}=dfrac{(n+2)!}{2^n}-2$

Докажем равенство методом математической индукции

База индукции $n=1$ справедливо: $dfrac{1cdot 2!}{2}=dfrac{3!}{2}-2=1$. Допустим, что равенство $dfrac{1cdot 2!}{2}+dfrac{2cdot 3!}{2^2}+dots +dfrac{n(n+1)!}{2^n}=dfrac{(n+2)!}{2^n}-2$ справделиво, и докажем, что оно влечет равенство

$dfrac{1cdot 2!}{2}+dfrac{2cdot 3!}{2^2}+dots+dfrac{n(n+1)!}{2^n}+dfrac{(n+1)(n+2)!}{2^{n+1}}=dfrac{(n+3)!}{2^{n+1}}-2$

Действительно,

$dfrac{1cdot 2!}{2}+dfrac{2cdot 3!}{2^2}+dots +dfrac{n(n+1)!}{2^n}+dfrac{(n+1)(n+2)!}{2^{n+1}}=dfrac{(n+2)!}{2^n}-2+\ \ +dfrac{(n+1)(n+2)!}{2^{n+1}}=dfrac{(n+2)!}{2^n}cdot left(1+dfrac{n+1}{2}right)-2=dfrac{(n+2)!}{2^n}cdot dfrac{n+3}{2}-2=\ \ \ =dfrac{(n+2)!(n+3)}{2^{n+1}}-2=dfrac{(n+3)!}{2^{n+1}}-2$

Следовательно, равенство имеет место для любого $n in mathbb{N}$

б) Аналогично, доказывается $dfrac{1cdot 3!}{3}+dfrac{2cdot 4!}{3^2}+dots +dfrac{ncdot(n+2)!}{3^n}=dfrac{(n+3)!}{3^n}-6$

Второй пункт для самостоятельного упражнения.

Answer 2

спасибо большое!