Question

Решить дифференциальное уравнение:

Answer 1

Тип: дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижения порядка.

Пусть $y'=u(x)$, тогда $y''=u'$, получаем :

$u'=u+x\ \ u'-u=x$

Умножим обе части уравнения на $e^{int -dx}=e^{-x}$, получаем

$u'e^{-x}-ue^{-x}=xe^{-x}\ \ Big(ucdot e^{-x}Big)'=xe^{-x}$

Интегрируем обе части уравнения

$displaystyle ucdot e^{-x}=int xe^{-x} dx$

В правой части уравнения интеграл будем считать путём интегрирования по частям

$displaystyle int xe^{-x}dx=left|begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\ \ e^{-x}dx=dv;~~~ v=-e^{-x}end{array}right|=-xe^{-x}+int e^{-x}dx=\ \ \ =-xe^{-x}-e^{-x}+C_1=C_1+e^{-x}Big(-x-1Big)$

$u=C_1e^{x}-x-1$

Выполним обратную замену

$y'=C_1e^{x}-x-1\ \ displaystyle y=int Big(C_1e^{x}-x-1Big)dx=boxed{bf C_1e^{x}-dfrac{x^2}{2}-x}$

Ответ: $y=C_1e^{x}-dfrac{x^2}{2}-x$.