Question

На рисунке AR=RP=PS=SQ=QC=CB. Найдите ∠ABC, если ∠ACB=108∘.

Answer 1

Ответ:

∠AВC = 60°.

Объяснение:

Пусть в равнобедренном треугольнике АRP (АR = RP) угол  ∠А = α.  =>  ∠RPA = ∠ARP = α.  

Внешний угол этого треугольника ∠PRS равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, углов: ∠PRS = 2α.

В равнобедренном треугольнике RPS (RP = PS)  

∠PSR = ∠PRS = 2α. ∠RPS = 180° - 4α (по сумме внутренних углов треугольника).

Углы APR, RPS и SPQ составляют развернутый угол и значит APR + RPS + SPQ = 180°.

∠SPQ = 180° - (180° - 4α) - α = 3α.

В равнобедренном треугольнике PSQ (PS = SQ)  углы при основании равны  =>  ∠PQS = ∠SPQ = 3α.  

Угол PSQ = 180° - 6α (по сумме внутренних углов треугольника).

Углы PSR, PSQ и QSC составляют развернутый угол и значит

∠QSC = 180° - 2α - (180° - 6α) = 4α.

В равнобедренном треугольнике SQC (QC = SQ)  углы при основании равны  => ∠QCS = ∠QSC = 4α.  Тогда ∠SQC = 180° - 8α.

Углы PQS, SQC и CQB составляют развернутый угол и значит

∠CQB = 180° - 3α - (180° - 8α) = 5α.

В равнобедренном треугольнике QCB (QC = CB)  углы при основании равны  =>  ∠QBC = 5α.

Тогда в четырехугольнике SQBC ∠SQB = ∠SQC + ∠CQB или

∠SQB  = 180° - 8α + 5α = 180° - 3α.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.

Тогда ∠QSC+∠SQB+∠QBC+∠SCB  = 360°. Или

4α +180° - 3α +5α+108°  = 360°. =>  6α = 72°  => α = 12°.

∠AВC = ∠QBC  = 5α  =  60°.