Question

ПОЖАЛУСТА МЛЯМУХА.. перших п'яти членів геометричної прогресії (bп), якщо різниця третього і другого її членів дорівнює 6, а різниця четвертого і другого членів дорівнює 30.

Answer 1

Задача:

Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если разность третьего и второго ее членов равна 6, а разность четвертого и второго членов равна 30.

Решение:

$b_{2}=b_{1}q;:: b_{3}=b_{1}q^2; :: b_{4}=b_{1}q^3; :: b_{5}=b_{1}q^4$

Составим систему:

$left { {{b_3-b_2= 6} atop {b_4-b_2 = 30}}; :: right. left { {{b_1q^2-b_1q = 6} atop {b_1q^3-b_1q= 30}}; :: right. left { {{b_1q(q-1)= 6} atop {b_1q(q^2-1) = 30}} right.$

Выразим из системы q:

$frac{b_1q(q^2-1)}{b_1q(q-1)} = frac{30}{6}; :: frac{q^2-1}{q-1} = 5; ::frac{(q-1)(q+1)}{q-1} =5\\q+1=5; ::q=4$

Найдем значение первого члена геометрической прогрессии:

$\\b_1q(q-1)= 6; ::b_1 cdot 4(4-1) = 6; :: b_1cdot 12= 6; :: \\b_1= frac{1}{2}$

Найдем сумму первых пяти членов прогрессии:

$S_n= frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\S_5= frac{ 0,5:cdot : (1-4^5)}{1-4} = frac{0,5 cdot( 1-1024)}{-3} =frac{-1023}{-6} = frac{341}{2}=170frac{1}{2} =170,5$

Ответ:

Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 170,5.

_________________________________

* q — знаменатель геометрической прогрессии

 b₁ — 1-й член геометрической прогрессии

 b₂, b₂,... — 2-й, 3-й и т.д. члены геометрической прогрессии

 Sₙ — сумма n первых членов геометрической прогрессии

_________________________________

$b_1=frac{1}{2} \\b_2=b_1q^1 = frac{1}{2}cdot 4^1=frac{4}{2} = 2 \\b_3=b_1q^2 = frac{1}{2}cdot 4^2=frac{16}{2} = 8 \\b_4=b_1q^3 = frac{1}{2}cdot 4^3=frac{64}{2} = 32 \\b_5=b_1q^4 = frac{1}{2}cdot 4^4=frac{256}{2} = 128 \\b_6=b_1q^5 = frac{1}{2}cdot 4^5=frac{1024}{2} =512 \\...$