Question

Найти единичный вектор в направлении градиента в точке M(1,3)
За помощь дам 30б.

Answer 1

Ответ: единичный вектор е = (-1/√10)·i + (-3/√10)·j

Пошаговое объяснение: grad(z)= dz/dx · i +dz/dy·j, где i и j- векторы (обозн стрелкой). Найдём частные производные:                              dz/dx = ((x²+y²)⁻¹/²)'= -1/2· ((x²+y²)⁻³/²·2x= -x/√(x²+y²)³  ; аналогично найдём dz/dy=((x²+y²)⁻¹/²)'= -1/2· ((x²+y²)⁻³/²·2y= -y√(x²+y-²)³           grad(z)=-x/√(x²+y²)³· i -y√(x²+y²)³  ·j      Найдём градиент в точке М(1;3), получим grad (z) =-1/√(1+9)³·i -3/√(1+9)³· j = -1/(10√10) · i -3/(10√10 )·j  Тогда модуль градиента |grad (z)| =√(-1/(10√10)² + (3/(10√10 ))² =√1/1000+ 9/100 = √10/1000=√1/100=1/10   Направление вектора градиента задаётся его направляющими косинусами:    Cos α = dz/dx/ |grad(z)| = -1/10√10 :1/10= -1/√10                                       Сos β= dz/dy/ |grad(z)| = -3/10√10 :1/10= -3/√10 , Сos²α+Cos²β=(-1/√10)²+(-3/√10)²=1