Question

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми:
x + y = 1, x + 3y = 1, x = y, x = 2y.

Answer 1

Область ограничена прямыми  $y=1-x; ,; y=frac{1-x}{3}; ,; y=x; ,; y=frac{x}{2}$  .

Найдём точки пересечения и разобьём область на сумму простейших областей.

$a); ; frac{1-x}{3}=x; ; ,; ; 1-x=3x; ,; ; 4x=1; ; ,; ; x=frac{1}{4}=0,25\\b); ; frac{x}{2}=1-x; ; ,; ; x=2-2x; ; ,; ; 3x=2; ; ,; ; x=frac{2}{3}\\c); ; x=1-x; ; ,; ; 2x=1; ; ,; ; x=frac{1}{2}=0,5\\d); ; frac{1-x}{3}=frac{x}{2}; ; ,; ; 2-2x=3x; ; ,; ; 5x=2; ; ,; ; x=frac{2}{5}=0,4$

$S=intlimits^{2/5}_{1/4}, (x-frac{1-x}{3}), dx+intlimits^{1/2}_{2/5}, (x-frac{x}{2}), dx+intlimits^{2/3}_{1/2}, (1-x-frac{x}{2}), dx=\\\=intlimits^{2/5}_{1/4}, (frac{4x}{3}-frac{1}{3}), dx+intlimits_{2/5}^{1/2}, frac{x}{2}, dx+intlimits^{2/3}_{1/2},(1-frac{3x}{2}), dx=\\\=(frac{2x^2}{3}-frac{x}{3})Big|_{1/4}^{2/5}+frac{x^2}{4}Big|_{2/5}^{1/2}+(x-frac{3x^2}{4})Big|_{1/2}^{2/3}=$

$=(frac{2cdot 4}{3cdot 25}-frac{2}{15}-frac{2}{3cdot 16}+frac{1}{12})+(frac{1}{16}-frac{1}{25})+(frac{2}{3}-frac{1}{3}-frac{1}{2}+frac{3}{16})=\\=frac{3}{200}+frac{9}{400}+frac{1}{48}=frac{7}{120}$

$P.S.; ; S=iint limits _{D_1}dx, dy+iint limits_{D_2}dx, dy+iint limits _{D_3}dx, dy=\\\=int limits _{1/4}^{2/5}, dxintlimits^{x}_{frac{1-x}{3}}, dy+intlimits_{2/5}^{1/2}, dxintlimits^{x}_ {x/2}, dy+intlimits^{2/3}_{1/2}, dxintlimits_{x/2}^ {1-x}, dy=$

$=intlimits^{2/5}_{1/4}, (x-frac{1-x}{3}), dx+intlimits^{1/2}_{2/5}, (x-frac{x}{2}), dx+intlimits^{2/3}_{1/2}, (1-x-frac{x}{2}), dx=\\\=intlimits^{2/5}_{1/4}, (frac{4x}{3}-frac{1}{3}), dx+intlimits_{2/5}^{1/2}, frac{x}{2}, dx+intlimits^{2/3}_{1/2},(1-frac{3x}{2}), dx=\\\=(frac{2x^2}{3}-frac{x}{3})Big|_{1/4}^{2/5}+frac{x^2}{4}Big|_{2/5}^{1/2}+(x-frac{3x^2}{4})Big|_{1/2}^{2/3}=...=frac{7}{120}$

Answer 2

Спасибо большое.

Answer 3

Ответ:

с помощью интегралов, если в вычислениях не ошибся

Пошаговое объяснение: