Question

Решить дифференциальное уравнение...

Answer 1

$x'+xcos(t)=sin tcos t\ e^{sint}x'+e^{sint}cost*x=e^{sint}sin tcos t\ left[(e^{sint})'=cos t*e^{sint} right]\ (e^{sint}*x)'_t=e^{sint}sin tcos t\ e^{sint}*x=int e^{sint}sin tcos tdt=int e^{sint}sin td(sint)=(*)\ int xe^xdx=left[u=x=>du=dx,dv=e^xdx=>v=e^x right]=xe^x-int e^x dx=xe^x-e^x+C\ (*)=(sint-1)e^{sint}+C\ x=(sint-1)+dfrac{C}{e^{sint}}$

$x=(sint-1)+dfrac{C}{e^{sint}}, x(t_0)=x_0\ C= e^{sint_0}x_0-e^{sint_0}(sint_0-1)\ x=(sint-1)+dfrac{e^{sint_0}x_0-e^{sint_0}(sint_0-1)}{e^{sint}}$

Значение С определено однозначно для каждого набора $(t_0;x_0)$, решение единственно.

_______________________________________________

Для любых начальных значений функция $x=(sint-1)+dfrac{e^{sint_0}x_0-e^{sint_0}(sint_0-1)}{e^{sint}}$ определена на всей вещественной оси